Nacido el 29 de diciembre de 1930 en Tuxpan, Veracruz, Tommy es un autodidacta. al aprendio clarinete a los 13 años de edad y se inicio tocandolo con las grupos musicales locales de marimba. Asimismo, descubrio la musica norteamericana y cubana, escuchando las estaciones de radio locales de Tampico, que retransmitian la musica de las Grandes Bandas y los shows de radio de La Habana.

Un año después recibió una beca de las comunidades locales (ciudades de Poza Rica y Papantla en Veracruz) para estudiar en la Escuela Libre de Musica en la Ciudad de México. Se convierte en profesional a la edad de 15 años, tocando saxofon alto con orquestas en Xochimilco, donde conoce a Cuco Valtierra , quien lo influencia para cambiar al saxofón tenor. Tres años después ya estaba tocando en el Cabaret Bremen en la Ciudad de México.

En 1951, después de un breve retorno a Veracruz, donde toco principalmente con la Orquesta de Armando López, Rodríguez regresa a la Ciudad de México y con la ayuda del baterista Leo Acosta, fue contratado por la Orquesta de Ismael Díaz.

En la banda conoce a Mario Patrón, un virtuoso joven pianista de 16 años y al trompetista Cesar Molina, de quienes se convirtio en amigo inseparable. Durante el mismo periodo, Rodriguez ya es ejecutante y solista con las grandes Orquestas de Pablo Beltrán Ruíz y Everett Hogland.Un par de años después, trabajando en clubes nocturnos en Ciudad Juarez y en El Paso Texas, tuvo la oportunidad de conocer a Dizzy Gillespie, Ray Brown, Charlie Parker, Lester Young e Illinois Jacquet, quienes junto a Chuck Berry y Ben Webster, se convirtieron en una enorme influencia en su vida y en su musica.

También conocio a algunos de los mas legendarios musicos mexicanos de jazz, como el baterista Tino Contreras y a Hector Hallal "El árabe", un saxofonista que jugo un prominente rol en la historia del jazz mexicano, despues de convertirse en arreglista para Luis Arcarez y Juan Garcia Esquivel. En esos clubes, Tommy participo en jam sessions en bares locales con Tino, El arabe, Lester Young e Illinois Jacquet.

De regreso en la Ciudad de Mexico en 1955, cuando Tommy Rodriguez se unio a la Gran Orquesta de Luis Arcaraz, la banda fue nominada por la revista norteamericana Down Beat como una de las cuatro mejores del mundo. Entre los musicos de esta orquesta estaban Tino Contreras,Hector Hallal, Mario Patrón y el bajista Victor Ruíz Passos. Posteriormente, esta banda efectuo giras por Cuba y Sudamerica.